Campo magnetico

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Lo spettro magnetico, l'insieme delle linee di campo dovuto ad un magnete, è reso visibile dalla limatura di ferro su un foglio di carta.

In fisica, in particolare nel magnetismo, il campo magnetico è un campo di forze solenoidale^[1] generato nello spazio dal moto di una carica elettrica o da un campo elettrico variabile nel tempo, che insieme al campo elettrico costituisce il campo elettromagnetico.

Indice

1 Descrizione
2 Forza di Lorentz
3 Campo magnetico generato da un circuito
4 Proprietà del campo magnetico in condizioni stazionarie
5 Potenziale vettore
6 Campo magnetico in condizioni non stazionarie
- 6.1 La legge di Faraday
- 6.2 La legge di Ampere-Maxwell
7 Magnetismo nella materia
- 7.1 Equazioni di Maxwell per il campo magnetico nella materia
- 7.2 Permeabilità magnetica
8 Energia magnetica
9 Note
10 Bibliografia
11 Voci correlate
12 Altri progetti

[modifica] Descrizione

Il campo magnetico agisce su un oggetto elettricamente carico tramite la forza di Lorentz, nel caso di una carica elettrica in movimento, oppure nel momento torcente che agisce su un dipolo magnetico.

L'evoluzione spaziale e temporale del campo magnetico è governata dalle equazioni di Maxwell, un sistema di quattro equazioni differenziali alle derivate parziali lineari che sta alla base della descrizione formale dell'interazione elettromagnetica.

Storicamente gli effetti magnetici vengono scoperti grazie a magneti naturali che, allo stesso tempo, generano un campo magnetico e ne subiscono gli effetti per via delle correnti elettriche su scala atomica. La scoperta della produzione di campi magnetici da parte di conduttori percorsi da corrente elettrica si deve a Ørsted nel 1820. Sperimentalmente, la direzione del vettore campo è la direzione indicata dalla posizione d'equilibrio dell'ago di una bussola immersa nel campo, mentre lo strumento per la misura del campo magnetico è il magnetometro.

Il campo magnetico viene solitamente indicato con il vettore H, misurato nel Sistema internazionale in A/m^[2] o nel sistema cgs in Oe, mentre con B si indica la sua induzione.

[modifica] Forza di Lorentz

Per approfondire, vedi la voce Forza di Lorentz.

Lo spettro magnetico prodotto da un circuito di forma qualsiasi

La definizione operativa del campo magnetico viene espressa tramite la forza che il campo esercita su un corpo carico in movimento, la forza di Lorentz:^[3]

$\mathbf F = \mu q \mathbf v \times \mathbf H$

cioè il prodotto vettoriale tra la velocità della carica v ed il campo, dove q è la carica elettrica del corpo considerato.
Tale formula è generalizzabile al caso di un circuito filiforme di lunghezza l percorso dalla corrente elettrica I:

$\mathbf F = \mu I \int_l d\mathbf l \times \mathbf H$

che, sapendo che

$I d\mathbf l = \mathbf J \operatorname d v$

si può estendere al caso più generale di un volume V percorso da una corrente descritta dalla densità di corrente $\mathbf J$ , per il quale si ha:

$\mathbf F = \int_V \mu \mathbf J \times \mathbf H \operatorname dv$

Dal momento che la forza di Lorentz, detta anche forza magnetica, è legata al campo magnetico tramite il prodotto vettoriale, la forza e il campo non hanno la stessa direzione, essendo perpendicolari. Come conseguenza di ciò, la forza di Lorentz non compie lavoro, infatti:

$W = \int_{R_1}^{R_2} \mu q \mathbf v \times \mathbf H \cdot \operatorname d\mathbf r = q \int_{t_1}^{t_2} \left( \mu \mathbf v \times \mathbf H \cdot \mathbf v \right) \operatorname dt = 0$

L'ultimo integrando è nullo perché è il prodotto misto di tre vettori, di cui due paralleli.

[modifica] Campo magnetico generato da un circuito

Per approfondire, vedi le voci Esempi di campo magnetico e Campo magnetico alternato e rotante.

Una serie di evidenze sperimentali, tra le quali l'esperimento di Oersted del 1820, ha portato a concludere che il campo magnetico nel generico punto $\mathbf r'$ generato nel vuoto da un elemento infinitesimo $\mbox{d}\mathbf l$ , posto nella posizione $\mathbf r$ , di un circuito percorso da una corrente I è dato da:^[4]

$\mbox{d}\mathbf H (\mathbf r') = \frac {1}{4\pi} I \frac {\mbox{d}\mathbf l \times \Delta \mathbf r}{|\Delta \mathbf r|^3}$

dove $\Delta \mathbf r = |\mathbf r' - \mathbf r|$ è la differenza vettoriale tra la posizione r dell'elemento infinitesimo di circuito e il punto r' in cui è calcolato il campo.
L'integrazione su tutto il circuito della precedente espressione produce la Legge di Biot-Savart:

$\mathbf H (\mathbf r') = \frac {1}{4\pi} I \oint_{\delta S} \frac {\mbox{d}\mathbf r \times \Delta \mathbf r}{|\Delta \mathbf r|^3}$

che rappresenta il campo magnetico totale generato dal circuito.
Nel caso più generale in cui l'approssimazione di circuito filiforme non possa essere applicata, si ricorre alla densità di corrente $\mathbf J$ , e l'espressione del campo magnetostatico diventa:^[5]

$\mathbf H (\mathbf r') = \frac {1}{4\pi} \int_{V} \frac {\mathbf J(\mathbf r) \times \Delta \mathbf r}{|\Delta \mathbf r|^3} \, \mbox{d}v$

dove $v$ è il volume del conduttore nel punto $\mathbf r$ di lunghezza $\mbox{d}\mathbf r$ e sezione $\mbox{d}\mathbf s$ .

[modifica] Proprietà del campo magnetico in condizioni stazionarie

Calcolando la divergenza del campo generato da un circuito si dimostra che essa è sempre nulla:^[6]

$\mathbf \nabla \mathbf H (\mathbf r') = \frac {1}{4\pi} I \mathbf \nabla \int_{\delta S} \frac {\mbox{d}\mathbf r \times \Delta \mathbf r}{|\Delta \mathbf r|^3} = 0$

Questa proprietà costituisce la seconda equazione di Maxwell:

$\mathbf \nabla \cdot \mathbf H = 0$

Il fatto che si tratti di un campo a divergenza nulla implica che il campo magnetico sia un campo solenoidale.
Da questo fatto segue che, applicando il teorema del flusso di Gauss, il flusso attraverso qualsiasi superficie S :^[1]

$\Phi_{\delta V} (\mathbf H) = \oint_{\delta V} \mathbf H \cdot \operatorname d \mathbf s = \int_V \nabla \cdot \mathbf B_0 \cdot dv = 0$

dove $V$ è il volume che ha delimitato dalla superficie chiusa δV.
Inoltre, il campo magnetostatico non è conservativo, infatti per la legge di Ampère-Maxwell:

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{ \partial \mathbf{D} }{ \partial t }$

[modifica] Potenziale vettore

Per approfondire, vedi le voci Potenziale magnetico e Potenziale vettore.

Il potenziale vettore del campo magnetico, indicato solitamente con A, è un campo vettoriale tale che il vettore induzione magnetica B sia uguale al rotore di A:^[7]

$\mathbf {H} = \mathbf \nabla \times \mathbf {A}$

La definizione non è tuttavia univoca, dal momento che H resta invariato se ad A sommiamo il gradiente di una qualsiasi funzione scalare:

$\mathbf \nabla \times \left( \mathbf {A} + \mathbf \nabla C(\mathbf {r}) \right) = \mathbf \nabla \times \mathbf {A}$

Il potenziale vettore definito in questo modo risulta soddisfare automaticamente le equazioni di Maxwell nel caso statico.

Nel caso elettrodinamico bisogna modificare le definizioni dei potenziali in modo da ottenere che due equazioni di Maxwell risultino immediatamente soddisfatte. Per quanto riguarda A, abbiamo ancora che è definito in modo che il suo rotore sia H, mentre V è definito in modo che:

$\mathbf \nabla V = -E - \frac{\partial A}{\partial t}$

[modifica] Campo magnetico in condizioni non stazionarie

L'elettrostatica e la magnetostatica rappresentano due casi particolari di una teoria più generale, l'elettrodinamica, dal momento che trattano i casi in cui i campi elettrico e magnetico non variano nel tempo. In condizioni stazionarie il campo elettrico ed il campo magnetico possono essere infatti trattati indipendentemente l'uno dall'altro, tuttavia in condizioni non stazionarie i due campi appaiono come le manifestazioni di una stessa entità fisica: il campo elettromagnetico.
Più precisamente, le leggi fisiche che correlano i fenomeni elettrici con quelli magnetici sono la legge di Ampere-Maxwell e la sua simmetrica legge di Faraday, descritte nel seguito.

[modifica] La legge di Faraday

Per approfondire, vedi la voce Legge di Faraday.

La legge di Faraday afferma che la forza elettromotrice indotta in un circuito chiuso da un campo magnetico è pari all'opposto della variazione del flusso magnetico del campo concatenato con il circuito nell'unità di tempo, ovvero:^[8]

$f.e.m. = -{d\Phi_B \over dt}$

Per la definizione di forza elettromottrice si ha, esplicitando la definizione integrale di flusso:^[9]

$\oint_C \mathbf {E} \cdot \operatorname{d}l = -{d \over dt}\int_S \mathbf B \mbox {d}\mathbf S = -\int_S \frac{\partial \mathbf {B}}{\partial t}\mbox {d}\mathbf S$

applicando il teorema di Stokes al primo membro

$\oint_C \mathbf {E} \cdot \operatorname{d}l = \int_S (\mathbf \nabla \times \mathbf {E}) \mbox {d}\mathbf S$

e per quanto detto si giunge a

$\int_S (\mathbf \nabla \times \mathbf {E}) \mbox {d}\mathbf S = -\int_S \frac{\partial \mathbf {B}}{\partial t}\mbox {d}\mathbf S$

Uguagliando gli integrandi segue la terza equazione di Maxwell:^[10]

$\mathbf \nabla \times \mathbf {E} = -\frac{\partial \mathbf {B}}{\partial t}$

Si noti che nel caso non stazionario la circuitazione del campo elettrico non è nulla, dal momento che si genera una forza elettromotrice che si oppone alla variazione del flusso del campo magnetico concatenato col circuito.

[modifica] La legge di Ampere-Maxwell

Per approfondire, vedi le voci Legge di Ampère e Corrente di spostamento.

L'estensione della legge di Ampère al caso non stazionario mostra come un campo elettrico variabile nel tempo sia sorgente di un campo magnetico. Ponendo di essere nel vuoto, la forma locale della legge di Ampère costituisce la quarta equazione di Maxwell nel caso stazionario:

$\nabla \times \mathbf B = \mu \mathbf J \$

Tale relazione vale solamente nel caso stazionario poiché implica che la divergenza della densità di corrente sia nulla, contraddicendo in questo modo l'equazione di continuità per la corrente elettrica:^[11]

$\nabla \cdot \mathbf J = -\frac {\partial \rho}{\partial t}$

Per estendere la legge di Ampère al caso non stazionario è necessario inserire la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità:

$\nabla \cdot \mathbf J + \frac {\partial \rho}{\partial t} = \nabla \cdot \left( \mathbf J + \varepsilon \frac {\partial \mathbf E}{\partial t} \right)$

Il termine

$\varepsilon \frac{\partial \mathbf {E}}{\partial t}$

è detto densità di corrente di spostamento, e deve essere aggiunto alla densità di corrente nel caso non stazionario.^[12]
Inserendo la densità di corrente generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère:^[13]^[14]

$\mathbf { \nabla \times B} = \mu \left(\mathbf J +\varepsilon \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}\right)$

si ottiene la quarta equazione di Maxwell nel vuoto.^[15] Tale espressione mostra come la variazione temporale di un campo elettrico sia sorgente di un campo magnetico.

[modifica] Magnetismo nella materia

Per approfondire, vedi la voce Polarizzazione magnetica.

Per descrivere il comportamento del campo magnetico nella materia è sufficiente introdurre nelle equazioni di Maxwell un termine aggiuntivo $\mathbf{J_m}$ , che rappresenta la densità di corrente associata alla polarizzazione del materiale:

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 (\mathbf{J} + \mathbf{J_m})$

Tuttavia, tale termine non è in generale noto: questo ha portato all'introduzione del vettore intensità di magnetizzazione, anche detto vettore di polarizzazione magnetica e indicato con $\mathbf M$ , una grandezza vettoriale macroscopica che descrive il comportamento globale del materiale soggetto alla presenza del campo magnetico. Il vettore rappresenta il momento di dipolo magnetico per unità di volume posseduto dal materiale. Definito come la media del valore medio del momento magnetico proprio $\mathbf m$ di N particelle contenute in un volume infinitesimo dV, è espresso dalla relazione:

$\mathbf M = \lim_{\Delta V \to 0} \frac {\Delta N}{\Delta V} <\mathbf m> =\lim_{\Delta V \to 0} \frac { \sum_{i=1}^{\Delta N} {\mathbf m_i}}{\Delta V}$

Nel Sistema internazionale di unità di misura il vettore di polarizzazione magnetica si misura in Ampere su metro (A/m), e nella definizione il limite vale per un volume che contenga un numero significativo di atomi tale da poterne calcolare una proprietà media.

Nel caso in cui la polarizzazione atomica all'interno del materiale sia uniforme, le correnti di magnetizzazione sono descritte dalla corrente di magnetizzazione superficiale $I_{ms}$ , data da:

$I_{ms} = \frac {dQ_m}{dt} = \int_l \mathbf J_{ms} d \mathbf l$

ovvero la corrente di magnetizzazione è pari al flusso del vettore densità di corrente di magnetizzazione superficiale $\mathbf J_{ms}$ attraverso un percorso l.
Nel caso in cui la polarizzazione atomica all'interno del materiale non sia uniforme, invece, si introduce la corrente di magnetizzazione volumica $I_{ms}$ , data da:

$I_{mv} = \frac {dQ_m}{dt} = \int_S \mathbf J_{mv} d \mathbf S$

ovvero la corrente di magnetizzazione volumica è pari al flusso del vettore densità di corrente di magnetizzazione volumica $\mathbf J_{mv}$ attraverso una superficie S.
Le relazioni che legano la densità di corrente di magnetizzazione con il vettore di magnetizzazione sono:

$\mathbf J_{ms} = \mathbf M \times \mathbf n$

$\mathbf J_{mv} = \mathbf \nabla \times \mathbf M$

dove nella prima equazione $\mathbf n$ è il versore che identifica la direzione normale alla superficie del materiale.

[modifica] Equazioni di Maxwell per il campo magnetico nella materia

Per approfondire, vedi la voce Equazioni di Maxwell.

La presenza di materia costringe a tenere conto delle correnti amperiane nelle equazioni di Maxwell per il campo magnetico:^[16]

$\mathbf \nabla \times \mathbf B = \mu_0 (\mathbf J + \mathbf{J_m})$

e porta a definire il vettore campo magnetico $\mathbf H$ nella materia come:^[17]

$\mathbf H = \frac {\mathbf B - \mu_0 \mathbf M}{\mu_0} = \frac {\mathbf B}{\mu_0} - \mathbf M$

L'equazione di Maxwell può essere riscritta in modo equivalente:

$\mathbf \nabla \times \mathbf H = \mathbf J$

La densità di corrente $\mathbf J$ presente nella precedente equazione si riferisce esclusivamente alle correnti elettriche, date dal moto dei soli elettroni liberi, e non alle correnti atomiche di magnetizzazione.
Nel caso non stazionario, inoltre, la quarta equazione ha l'espressione:^[18]

$\mathbf \nabla \times \mathbf {H} = \mathbf {J} + \frac{\partial \mathbf {D}} {\partial t}$

[modifica] Permeabilità magnetica

Per approfondire, vedi la voce Permeabilità magnetica.

La permeabilità magnetica è una grandezza fisica che esprime l'attitudine di una sostanza a polarizzarsi in seguito all'applicazione di un campo magnetico che si misura in henry al metro (H/m), equivalente a newton all'ampere quadrato (N/A²). Nel caso in cui il materiale sia omogeneo ed isotropo i vettori $\mathbf B$ e $\mathbf H$ sono paralleli, e questo implica che la relazione tra di essi è di semplice proporzionalità:^[19]

$\mathbf B = \mu \cdot \mathbf H$ .

dove $\mu$ è la permeabilità magnetica del materiale considerato.
Dal momento che non tutti i materiali hanno una reazione lineare tra $\mathbf B$ e $\mathbf H$ , i materiali magnetici si distinguono in tre categorie:

I materiali ferromagnetici, come ferro, cobalto e nichel, sono caratterizzati dal fatto che i campi $\mathbf B$ e $\mathbf H$ non sono paralleli, e la permeabilità ha un comportamento che manifesta una più o meno marcata isteresi, ovvero una dipendenza dalle precedenti magnetizzazioni e smagnetizzazioni subite da tali materiali. Più precisamente, nelle sostanze ferromagnetiche la permeabilità è funzione del campo magnetico $\mathbf B$ .

I materiali diamagnetici, caratterizzati da una permeabilità costante ma minore di quella del vuoto e indipendente da $\mathbf B$ .

I materiali paramagnetici, caratterizzati da una permeabilità costante e maggiore di quella del vuoto e indipendente da $\mathbf B$ .

[modifica] Energia magnetica

Per approfondire, vedi la voce Energia magnetica.

L'energia magnetica è l'energia associata al campo magnetico, e nel caso di materiali in cui la relazione tra B e H sia lineare l'energia magnetica contenuta in un volume $V$ è data da:^[1]

$\int_V \frac{1}{2} \mathbf H \cdot \mathbf B \operatorname{d}v = \int_V p_H \operatorname{d}v$

dove

$p_H=\frac{1}{2} \mathbf H \mathbf B$

è la pressione magnetica.
Per un circuito percorso da corrente la densità di energia magnetica può essere definita a partire dal potenziale vettore A del campo magnetico ed il vettore densità di corrente J :

$p_H = \frac{1}{2}\mathbf J \cdot \mathbf A$

[modifica] Note

^ ^a ^b ^c Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 259
^ BIPM. (EN) The International System of Units (SI). URL consultato il 22 marzo 2010.
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 237
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 250
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 251
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 257
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 273
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 352
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 353
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 361
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 396
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 397
^ Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas, Taylor & Francis, 1995, pp. 16. ISBN 1857282418
^ JC Slater and NH Frank, Electromagnetism, Reprint of 1947 edition, Courier Dover Publications, 1969, pp. 84. ISBN 0486622630
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 398
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 309
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 310
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 401
^ Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 313

[modifica] Bibliografia

Corrado Mencuccini; Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2
Jerry D. Wilson, Antony J. Buffa, Fisica 3, Milano, Principato, 2000, ISBN 88-416-5803-7
Paride Nobel, Fenomeni fisici, Napoli, Editrice Ferraro, 1994 ISBN 88-7271-126-6

[modifica] Voci correlate

[modifica] Altri progetti

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